Calcul infinitésimal Exemples

\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}

$\frac{d y}{d x} = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

d y = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x

$d y = {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

\int d y = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x

$\int d y = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x

$y + C_{1} = \int {(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez

{(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}

${(7 e^{x} - 3 e^{- x})}^{2}$ comme

(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})

$(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ .

y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int (7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.2

Développez

(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})

$(7 e^{x} - 3 e^{- x}) (7 e^{x} - 3 e^{- x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x} - 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 e^{x} (7 e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x} e^{x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.2

Multipliez

e^{x}

$e^{x}$ par

e^{x}

$e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.2.1

Déplacez

e^{x}

$e^{x}$ .

y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 (e^{x} e^{x}) + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{x + x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.2.3

Additionnez

x

$x$ et

x

$x$ .

y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 7 \cdot 7 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez

7

$7$ par

7

$7$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 e^{x} (- 3 e^{- x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{x} e^{- x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{x} e^{- x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.5

Multipliez

e^{x}

$e^{x}$ par

e^{- x}

$e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.5.1

Déplacez

e^{- x}

$e^{- x}$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 (e^{- x} e^{x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 (e^{- x} e^{x}) - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{- x + x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{- x + x} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.5.3

Additionnez

- x

$- x$ et

x

$x$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 e^{0} - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.6

Simplifiez

7 \cdot - 3 e^{0}

$7 \cdot - 3 e^{0}$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} + 7 \cdot - 3 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.7

Multipliez

7

$7$ par

- 3

$- 3$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 e^{- x} (7 e^{x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{- x} e^{x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.9

Multipliez

e^{- x}

$e^{- x}$ par

e^{x}

$e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.9.1

Déplacez

e^{x}

$e^{x}$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 (e^{x} e^{- x}) - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.9.2

Utilisez la règle de puissance

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{x - x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{x - x} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.9.3

Soustrayez

x

$x$ de

x

$x$ .

y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{0} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 e^{0} - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.10

Simplifiez

$- 3 \cdot 7 e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 3 \cdot 7 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.11

Multipliez

$- 3$ par

$7$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 e^{- x} (- 3 e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x} e^{- x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.13

Multipliez

$e^{- x}$ par

$e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.13.1

Déplacez

$e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Étape 2.3.1.3.1.13.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- x - x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.13.3

Soustrayez

$x$ de

$- x$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 - 3 \cdot - 3 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.1.3.1.14

Multipliez

$- 3$ par

$- 3$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 21 - 21 + 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.1.3.2

Soustrayez

$21$ de

$- 21$ .

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} - 42 + 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 49 e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.3

Comme

$49$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$49$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 49 \int e^{2 x} d x + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.4

Laissez

$u_{1} = 2 x$ . Alors

$d u_{1} = 2 d x$ , donc

$\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec

$u_{1}$ et

$d$

$u_{1}$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez

$u_{1} = 2 x$ . Déterminez

$\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez

$2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.4.1.2

Comme

$2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$2 x$ par rapport à

$x$ est

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.4.1.4

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$2$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u_{1}$ et

$d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 49 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.5

Associez

$e^{u_{1}}$ et

$\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 49 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.6

Comme

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

$u_{1}$ , placez

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 49 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.7

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$49$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.8

L’intégrale de

$e^{u_{1}}$ par rapport à

$u_{1}$ est

$e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 42 d x + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.9

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \int 9 e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.10

Comme

$9$ est constant par rapport à

$x$ , placez

$9$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{- 2 x} d x$

Étape 2.3.11

Laissez

$u_{2} = - 2 x$ . Alors

$d u_{2} = - 2 d x$ , donc

$- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec

$u_{2}$ et

$d$

$u_{2}$ .

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Étape 2.3.11.1

Laissez

$u_{2} = - 2 x$ . Déterminez

$\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.11.1.1

Différenciez

$- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3.11.1.2

Comme

$- 2$ est constant par rapport à

$x$ , la dérivée de

$- 2 x$ par rapport à

$x$ est

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est

$n x^{n - 1}$ où

$n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.3.11.1.4

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$- 2$

Étape 2.3.11.2

Réécrivez le problème en utilisant

$u_{2}$ et

$d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.12

Simplifiez

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Étape 2.3.12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.12.2

Associez

$e^{u_{2}}$ et

$\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.13

Comme

$- 1$ est constant par rapport à

$u_{2}$ , placez

$- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + 9 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.14

Multipliez

$- 1$ par

$9$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.15

Comme

$\frac{1}{2}$ est constant par rapport à

$u_{2}$ , placez

$\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - 9 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.16

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.16.1

Associez

$\frac{1}{2}$ et

$- 9$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} + \frac{- 9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.16.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.17

L’intégrale de

$e^{u_{2}}$ par rapport à

$u_{2}$ est

$e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 42 x + C_{3} - \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Étape 2.3.18

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{u_{1}} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.19

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.19.1

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{1}$ par

$2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.19.2

Remplacez toutes les occurrences de

$u_{2}$ par

$- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - 42 x - \frac{9}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Étape 2.3.20

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme

$K$ .

$y = \frac{49}{2} e^{2 x} - \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 42 x + K$