Calcul infinitésimal Exemples

$x^{5} + 4 y \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{5}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $4 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$ par $4 y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y \frac{d y}{d x} = - x^{5}$ par $4 y$ .

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y \frac{d y}{d x}}{4 y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{5}}{4 y}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{4 y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{5}}{4 y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{5}}{4 y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{4 y}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{y \cdot 4}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{5}}{y \cdot 4}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{5}}{4}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{x^{5}}{4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{x^{5}}{4} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{5}}{4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{5}}{4} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int x^{5} d x)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{4} (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} x^{6} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{6 \cdot 4} x^{6} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{24} x^{6} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{24} x^{6} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{24} x^{6} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{6}$ et $\frac{1}{24}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{6}}{24} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{6}}{24}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{6}}{24}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{24} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{2 (12)} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{6}}{2 \cdot 12} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{- x^{6}}{12} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x^{6}}{12} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + 2 K \cdot \frac{12}{12}}$

Étape 3.4.2

Associez $2 K$ et $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{6}}{12} + \frac{2 K \cdot 12}{12}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{6} + 2 K \cdot 12}{12}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $12$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{6} + 24 K}{12}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\frac{- x^{6} + 24 K}{12}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{6} + 24 K}{3}$ .

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Étape 3.4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- x^{6} + 24 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{6} + 24 K)}{12}}$

Étape 3.4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $12$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{6} + 24 K)}{2^{2} \cdot 3}}$

Étape 3.4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- x^{6} + 24 K)}{2^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{- x^{6} + 24 K}{3}}$

Étape 3.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{- x^{6} + 24 K}{3}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{- x^{6} + 24 K}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.8

Associez.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.4.9

Multipliez $\sqrt{- x^{6} + 24 K}$ par $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 3.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K}}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.11.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 3.4.11.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Étape 3.4.11.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Étape 3.4.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4.11.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.4.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}}$

Étape 3.4.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{6} + 24 K} \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 24 K) \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.4.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.13.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 24 K) \cdot 3}}{6}$

Étape 3.4.13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- x^{6} + 24 K) \cdot 3}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + 24 K)}}{6}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + K)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (- x^{6} + K)}}{6}$