Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d θ} = \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\sqrt{θ} - \sec^{2} (θ)) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} - \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \sqrt{θ} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{θ}$ comme $θ^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int θ^{\frac{1}{2}} d θ + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $θ^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $θ$ est $\frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \sec^{2} (θ) d θ$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $\tan (θ)$ est $\sec^{2} (θ)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (θ)$ est $\tan (θ)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (\tan (θ) + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} θ^{\frac{3}{2}} - \tan (θ) + K$