Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$ , $y (3) = 7$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x^{2} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - x + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $7$ dans $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ .

$7 = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Étape 4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + K = 7$

Étape 4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + K = 7$

Étape 4.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + K = 7$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$9 - 3 + K = 7$

Étape 4.2.2

Soustrayez $3$ de $9$ .

$6 + K = 7$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$K = 7 - 6$

Étape 4.3.2

Soustrayez $6$ de $7$ .

$K = 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $1$ dans $y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $1$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} - x + 1$

Étape 5.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} - x + 1$