Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{2 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 \sin (π x)}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sin (π x)}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 \sin (π x)}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (π x) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = π x$ . Alors $d u = π d x$ , donc $\frac{1}{π} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = π x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π x$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \sin (u) \frac{1}{π} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{π}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{\sin (u)}{π} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2} (\frac{1}{π} \int \sin (u) d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{π}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{π \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 π} (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Associez $\frac{3}{2 π}$ et $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (u)}{2 π} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{3}{2 π} \cos (π x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\cos (π x)$ et $\frac{3}{2 π}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\cos (π x) \cdot 3}{2 π} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (π x)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 \cos (π x)}{2 π}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 (π)} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- 3 \cos (π x)}{2 π} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{- 3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + 2 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$

$y = - \sqrt{- \frac{3 \cos (π x)}{π} + K}$