Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{\sqrt{4 x - 1}}{y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \sqrt{4 x - 1}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = \sqrt{4 x - 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{4 x - 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u = 4 x - 1$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 4 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 2.3.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Étape 2.3.4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Réécrivez $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{6} {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + K$