Calcul infinitésimal Exemples

$2 y d x + e^{- 3 x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 y d x$ des deux côtés de l’équation.

$e^{- 3 x} d y = - 2 y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{- 3 x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{- 3 x}$ à partir de $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{e^{- 3 x} (y)} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- 3 x} y} e^{- 3 x} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{- 3 x} y} (- 2 y) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{e^{- 3 x} y} y d x$

Étape 3.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{e^{- 3 x} y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x} y} y d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $e^{- 3 x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y e^{- 3 x}} y d x$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{e^{- 3 x}} d x$

Étape 3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{e^{- 3 x}} d x$

Étape 4.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x)$

Étape 4.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{e^{- 3 x}} d x$

Étape 4.3.3.2

Inversez l’exposant de $e^{- 3 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 {(e^{- 3 x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{- 3 x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.3.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{- 3 x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int 1 e^{3 x} d x$

Étape 4.3.3.3.2

Multipliez $e^{3 x}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{3 x} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.3.4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.3.4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Étape 4.3.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{3} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} (e^{u} + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{u} + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C}$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - \frac{2}{3} e^{3 x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2}{3} e^{3 x} + C} = | y |$

Étape 5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{2}{3} \cdot e^{3 x} + C}$

Étape 5.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.1

Associez $e^{3 x}$ et $\frac{2}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{e^{3 x} \cdot 2}{3} + C}$

Étape 5.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{3 x}$ .

$| y | = e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Étape 5.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3} + C}$ comme $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}} e^{C}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \frac{2 e^{3 x}}{3}}$