Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - x y^{3} = 0$ ; ; , $y (2) = 4$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $x y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = x y^{3}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (x y^{3})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} x)$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{3}} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y^{2}, 2, 1$

Étape 3.2.2

Comme $2 y^{2}, 2, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $2, 2, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{2}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 3.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.6

Le plus petit multiple commun de $2, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 3.2.7

Les facteurs pour $y^{2}$ sont $y \cdot y$ , qui correspond à $y$ multipliés entre eux $2$ fois.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ se produit $2$ fois.

Étape 3.2.8

Le plus petit multiple commun de $y^{2}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y \cdot y$

Étape 3.2.9

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2}$

Étape 3.2.10

Le plus petit multiple commun pour $2 y^{2}, 2, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 y^{2}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ par $2 y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{2}}{2} + K$ par $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = \frac{x^{2}}{2} (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 1 = 2 \frac{x^{2}}{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x^{2} y^{2} + K (2 y^{2})$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$ .

$x^{2} y^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2} + 2 K y^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + 2 K y^{2} = - 1$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K) = - 1$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x^{2} + y^{2} (2 K)$ .

$y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ par $x^{2} + 2 K$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} (x^{2} + 2 K) = - 1$ par $x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 2 K$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x^{2} + 2 K)}{x^{2} + 2 K} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{1}{x^{2} + 2 K}$

Étape 3.4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Étape 3.4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + 2 K}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(2, 4)$ , ne tenez compte que de $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $2$ et $y$ par $4$ .

$4 = \sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$ .

$\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}} = 4$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}}^{2} = 4^{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{- \frac{1}{2^{2} + K}}$ comme ${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- \frac{1}{2^{2} + K})}^{1} = 4^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(- \frac{1}{4 + K})}^{1} = 4^{2}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez

$- \frac{1}{4 + K} = 4^{2}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{4 + K} = 16$

Étape 6.4

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 6.4.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 + K, 1$

Étape 6.4.1.2

Supprimez les parenthèses.

$4 + K, 1$

Étape 6.4.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 + K$

Étape 6.4.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{4 + K} = 16$ par $4 + K$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.4.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{4 + K} = 16$ par $4 + K$ .

$- \frac{1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4 + K$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4 + K}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Étape 6.4.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{4 + K} (4 + K) = 16 (4 + K)$

Étape 6.4.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = 16 (4 + K)$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = 16 \cdot 4 + 16 K$

Étape 6.4.2.3.2

Multipliez $16$ par $4$ .

$- 1 = 64 + 16 K$

Étape 6.4.3

Résolvez l’équation.

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Étape 6.4.3.1

Réécrivez l’équation comme $64 + 16 K = - 1$ .

$64 + 16 K = - 1$

Étape 6.4.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.3.2.1

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$16 K = - 1 - 64$

Étape 6.4.3.2.2

Soustrayez $64$ de $- 1$ .

$16 K = - 65$

Étape 6.4.3.3

Divisez chaque terme dans $16 K = - 65$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 6.4.3.3.1

Divisez chaque terme dans $16 K = - 65$ par $16$ .

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Étape 6.4.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 6.4.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 K}{16} = \frac{- 65}{16}$

Étape 6.4.3.3.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{- 65}{16}$

Étape 6.4.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{65}{16}$

Étape 7

Remplacez $K$ par $- \frac{65}{16}$ dans $y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} + K}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $- \frac{65}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} - \frac{65}{16}}}$

Étape 7.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.1

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{x^{2} \cdot \frac{16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Étape 7.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{16}{16}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16}{16} - \frac{65}{16}}}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{x^{2} \cdot 16 - 65}{16}}}$

Étape 7.2.4

Déplacez $16$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = \sqrt{- \frac{1}{\frac{16 x^{2} - 65}{16}}}$

Étape 7.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \sqrt{- (1 \frac{16}{16 x^{2} - 65})}$

Étape 7.4

Multipliez $\frac{16}{16 x^{2} - 65}$ par $1$ .

$y = \sqrt{- \frac{16}{16 x^{2} - 65}}$