Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + 3}{x}$ quand $y (3) = 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y + 3$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} \cdot \frac{y + 3}{x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y + 3$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y + 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 3 |) - \ln (| x |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y + 3 |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 3 |}{| x |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y + 3 |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y + 3 | = e^{C} | x |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| y + 3 | = | x | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm | x | e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x | e^{C}$ .

$y + 3 = \pm e^{C} | x |$

Étape 3.5.4.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{C} | x | - 3$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C | x | - 3$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | - 3$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $3$ et $y$ par $3$ dans $y = C | x | - 3$ .

$3 = C | 3 | - 3$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C | 3 | - 3 = 3$ .

$C | 3 | - 3 = 3$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$C \cdot 3 - 3 = 3$

Étape 6.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $C$ .

$3 C - 3 = 3$

Étape 6.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.3.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 C = 3 + 3$

Étape 6.3.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$3 C = 6$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $3 C = 6$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $3 C = 6$ par $3$ .

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 C}{3} = \frac{6}{3}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{6}{3}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Divisez $6$ par $3$ .

$C = 2$

Étape 7

Remplacez $C$ par $2$ dans $y = C | x | - 3$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $2$ .

$y = 2 | x | - 3$