Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 2 x y + 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x^{2} \frac{d y}{d x} - 2 x y = 6$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 x y}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x^{2}} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (- 2 y)}{x \cdot x} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2 y}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.5

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 2}{x} = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 1.6

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 2}{x} y = \frac{6}{x^{2}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 2}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 2}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{- 2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{2 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{6}{x^{2}}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2} x^{2}}$

Étape 3.4

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{2 + 2}}$

Étape 3.4.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1 \cdot 6}{x^{4}}$

Étape 3.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{6}{x^{4}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{6}{x^{4}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{6}{x^{4}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 7.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 \int x^{- 4} d x$

Étape 7.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Étape 7.4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Étape 7.4.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Étape 7.4.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{2}} y = 6 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Étape 7.4.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - 6 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 7.4.3.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 6}{3 x^{3}} + C$

Étape 7.4.3.3

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Étape 7.4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{3})} + C$

Étape 7.4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{3}} + C$

Étape 7.4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2}} y = \frac{- 2}{x^{3}} + C$

Étape 7.4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Ajoutez $\frac{2}{x^{3}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} = C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Soustrayez $\frac{2}{x^{3}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{2}{x^{3}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{2}{x^{3}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(- \frac{2}{x^{3}} + C) x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{x^{3}}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 2}{x^{3}} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 2}{x^{2} x} x^{2} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 2}{x} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{x} + C x^{2}$

Étape 8.4.2.1.3.2

Remettez dans l’ordre $- \frac{2}{x}$ et $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - \frac{2}{x}$