Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez $x (1 + y)$ .

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d y}{d x} - x y = 0 + 0 + x (1 + y)$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d y}{d x} - x y = x (1 + y)$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} - x y = x \cdot 1 + x y$

Étape 1.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} - x y = x + x y$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Ajoutez $x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = x + x y + x y$

Étape 1.1.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x + 2 x y$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $x + 2 x y$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{1} + 2 x y$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + 2 x y$

Étape 1.2.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x \cdot 1 + x (2 y)$

Étape 1.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (2 y)$ .

$\frac{d y}{d x} = x (1 + 2 y)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + 2 y}$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} (x (1 + 2 y))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 + 2 y$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $1 + 2 y$ à partir de $x (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + 2 y} ((1 + 2 y) x)$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 2 y} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 + 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 + 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 2.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int x d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int x d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + 2 y |)} = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 1 + 2 y |) = x^{2} + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = | 1 + 2 y |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$| 1 + 2 y | = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm e^{x^{2} + 2 C} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + 2 C} - 1}{2}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{x^{2} + C} - 1}{2}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x^{2}} e^{C} - 1}{2}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x^{2}} - 1}{2}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C e^{x^{2}} - 1}{2}$