Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- t} \frac{d x}{d y} = t$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$x e^{- t} d x = t d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int x e^{- t} d x = \int t d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $e^{- t}$ est constant par rapport à $x$ , placez $e^{- t}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- t} \int x d x = \int t d y$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int t d y$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $e^{- t} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ comme $e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1}$ .

$e^{- t} \frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $e^{- t}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- t}}{2} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Étape 2.2.3.2.2

Associez $\frac{e^{- t}}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{e^{- t} x^{2}}{2} + C_{1} = \int t d y$

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = \int t d y$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} + C_{1} = t y + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ par $\frac{1}{2} e^{- t}$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $\frac{1}{2} e^{- t} x^{2} = t y + K$ par $\frac{1}{2} e^{- t}$ .

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $\frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1}{2} e^{- t} x^{2}}{\frac{1}{2} e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $e^{- t}$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- t} x^{2}}{e^{- t}} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{1}{2} e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{t y}{\frac{e^{- t}}{2}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x^{2} = t y \frac{2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $t y \frac{2}{e^{- t}}$ .

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Étape 3.1.3.1.3.1

Associez $t$ et $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = y \frac{t \cdot 2}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.3.2

Associez $y$ et $\frac{t \cdot 2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{y (t \cdot 2)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $y t$ .

$x^{2} = \frac{2 \cdot (y t)}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{1}{2} e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{- t}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K}{\frac{e^{- t}}{2}}$

Étape 3.1.3.1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + K \frac{2}{e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.7

Associez $K$ et $\frac{2}{e^{- t}}$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{K \cdot 2}{e^{- t}}$

Étape 3.1.3.1.8

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$x^{2} = \frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$

Étape 3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 y t}{e^{- t}} + \frac{2 K}{e^{- t}}}$ .

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y t + 2 K}{e^{- t}}}$

Étape 3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y t + 2 K$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y t$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t) + 2 K}{e^{- t}}}$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (y t + K)}{e^{- t}}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ par $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}} \cdot \frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$

Étape 3.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (y t + K)}}{\sqrt{e^{- t}}}$ par $\frac{\sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{\sqrt{e^{- t}} \sqrt{e^{- t}}}$

Étape 3.3.5.2

Élevez $\sqrt{e^{- t}}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} \sqrt{e^{- t}}}$

Étape 3.3.5.3

Élevez $\sqrt{e^{- t}}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1} {\sqrt{e^{- t}}}^{1}}$

Étape 3.3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{\sqrt{e^{- t}}}^{2}}$

Étape 3.3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{e^{- t}}}^{2}$ comme $e^{- t}$ .

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Étape 3.3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{e^{- t}}$ comme $e^{\frac{- t}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{\frac{- t}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.5.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{{(e^{- \frac{t}{2}})}^{2}}$

Étape 3.3.5.6.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- \frac{t}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.3.5.6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- 2 \frac{t}{2}}}$

Étape 3.3.5.6.5

Associez $- 2$ et $\frac{t}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- 2 t}{2}}}$

Étape 3.3.5.6.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 3.3.5.6.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2}}}$

Étape 3.3.5.6.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.5.6.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 (1)}}}$

Étape 3.3.5.6.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{2 (- t)}{2 \cdot 1}}}$

Étape 3.3.5.6.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{\frac{- t}{1}}}$

Étape 3.3.5.6.6.2.4

Divisez $- t$ par $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K)} \sqrt{e^{- t}}}{e^{- t}}$

Étape 3.3.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$

Étape 3.3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{2 (y t + K) e^{- t}}}{e^{- t}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$

$x = - \frac{\sqrt{2 e^{- t} (y t + K)}}{e^{- t}}$