Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (4 y^{- 2})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{- 2}} y^{- 2}$

Étape 1.2.2

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{2} y^{- 2}$

Étape 1.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.1

Déplacez $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 (y^{- 2} y^{2})$

Étape 1.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{- 2 + 2}$

Étape 1.2.3.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4 y^{0}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $4 y^{0}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 4$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 4 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 4 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Placez $y^{- 2}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int 4 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 4 d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 4 x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = 4 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (4 x + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (4 x + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (4 x + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (4 x + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (4 x) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y^{3} = 12 x + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{12 x + 3 K}$

Étape 3.4

Factorisez $3$ à partir de $12 x + 3 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (4 x) + 3 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3 (4 x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (4 x + K)}$