Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x y}{\ln^{8} (y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = 7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln^{8} (y)}{y} (7 x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Étape 1.3.2

Associez $7$ et $\frac{\ln^{8} (y)}{y}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} (x \frac{y}{\ln^{8} (y)})$

Étape 1.3.3

Associez $x$ et $\frac{y}{\ln^{8} (y)}$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y)}{y} \cdot \frac{x y}{\ln^{8} (y)}$

Étape 1.3.4

Associez.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Étape 1.3.5

Annulez le facteur commun de $\ln^{8} (y)$ .

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Étape 1.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \ln^{8} (y) (x y)}{y \ln^{8} (y)}$

Étape 1.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{7 (x y)}{y}$

Étape 1.3.6.2

Divisez $7 (x)$ par $1$ .

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 (x)$

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = 7 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{\ln^{8} (y)}{y} d y = \int 7 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Alors $d u = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 2.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{8} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{8}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{9} u^{9} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (y)$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $7$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{9} \ln^{9} (y) = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $9$ .

$9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y)) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $9 (\frac{1}{9} \ln^{9} (y))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $\ln^{9} (y)$ .

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$9 \frac{\ln^{9} (y)}{9} = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $9 (\frac{7}{2} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln^{9} (y) = 9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln^{9} (y) = 9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $9 \frac{7 x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $9$ et $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{9 (7 x^{2})}{2} + 9 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $7$ par $9$ .

$\ln^{9} (y) = \frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$

Étape 3.3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\ln (y) = \sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}} = y$

Étape 3.3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.4.1

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez $e^{\sqrt[9]{\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K}}$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $9$ à partir de $\frac{63 x^{2}}{2} + 9 K$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Factorisez $9$ à partir de $\frac{63 x^{2}}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K}}$

Étape 3.3.4.2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $9 \frac{7 x^{2}}{2} + 9 K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K)}}$

Étape 3.3.4.2.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}}$

Étape 3.3.4.2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.2.3.1

Associez $K$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 (\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}}$

Étape 3.3.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + K \cdot 2}{2}}}$

Étape 3.3.4.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y = e^{\sqrt[9]{9 \frac{7 x^{2} + 2 K}{2}}}$

Étape 3.3.4.2.5

Associez $9$ et $\frac{7 x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = e^{\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}}$

Étape 3.3.4.2.6

Réécrivez $\sqrt[9]{\frac{9 (7 x^{2} + 2 K)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}$ .

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[9]{2}}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = e^{\frac{\sqrt[9]{9 (7 x^{2} + K)}}{\sqrt[9]{2}}}$