Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - y (x + 1)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y (x + 1))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y (x + 1))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (x + 1))$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (x + 1))$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - (x + 1)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 1 \cdot 1$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - x - 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (- x - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - x - 1 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} x^{2} - x + C}$

Étape 3.3.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{2}}{2} - x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- \frac{x^{2}}{2} - x + C}$ comme $e^{- \frac{x^{2}}{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} - x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- \frac{x^{2}}{2} - x}$