Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d t} = 5 \cdot \frac{1}{t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} \cdot d y = 5 \cdot \frac{1}{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 5 \frac{1}{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{t}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{5}{t} d t$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 (\ln (| t |) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 5 \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 5 \ln (| t |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 5 \ln (| t |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 5 \ln (| t |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 5 \ln (| t |)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| t |}^{5}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{| t |}^{5}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| t |}^{5}}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par ${| t |}^{5}$ .

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${| t |}^{5}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{| t |}^{5}} {| t |}^{5} = e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {| t |}^{5}$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} {| t |}^{5}$ .

$| y | = {| t |}^{5} e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm {| t |}^{5} e^{C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm {| t |}^{5} C$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C {| t |}^{5}$