Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x \cdot \frac{d y}{d x} = x \cdot \sin (2 x)$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \cdot \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot \sin (2 x)}{2 x}$

Étape 1.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (2 x)}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (2 x)}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (- \cos (u)) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (2 x)}{4} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{4} \cos (2 x) + K$