Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} y - 5 x y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $x y$ à partir de $4 x^{2} y - 5 x y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x y$ à partir de $4 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) - 5 x y$

Étape 1.1.2

Factorisez $x y$ à partir de $- 5 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x) + x y (- 5)$

Étape 1.1.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (4 x) + x y (- 5)$ .

$\frac{d y}{d x} = x y (4 x - 5)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (x y (4 x - 5))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (4 x - 5)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 5)))$

Étape 1.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (4 x - 5)))$

Étape 1.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x - 5)$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (4 x) + x \cdot - 5$

Étape 1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x + x \cdot - 5$

Étape 1.3.4

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x \cdot x - 5 \cdot x$

Étape 1.3.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x) - 5 \cdot x$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 5 \cdot x$

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} - 5 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} - 5 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} - 5 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} - 5 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int - 5 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int - 5 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 5 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3}) x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + \frac{- 5}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5}{2} x^{2} + C}$

Étape 3.3.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{5}{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{x^{2} \cdot 5}{2} + C}$

Étape 3.3.2.3

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + C}$ comme $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{2}}$