Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 1}{y - 3}$ ; , $y (0) = 4$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y - 3$ .

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = (y - 3) \frac{2 x + 1}{y - 3}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y - 3) \frac{d y}{d x} = 2 x + 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y - 3) d y = (2 x + 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 3 d y = \int 2 x + 1 d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 3 y + C_{2} = \int 2 x + 1 d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x + 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = \int 2 x d x + \int d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 \int x d x + \int d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + x + C_{5}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y + C_{3} = x^{2} + x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y = x^{2} + x + K$

Étape 3.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} = x + K$

Étape 3.2.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x = K$

Étape 3.2.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 3 y - x^{2} - x - K = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (- 3 y) + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y^{2} - 6 y + 2 (- x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} + 2 (- x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 6 y - 2 x^{2} - 2 x - 2 K = 0$

Étape 3.3.3

Déplacez $- 6 y$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 x - 2 K - 6 y = 0$

Étape 3.3.4

Déplacez $- 2 x$ .

$y^{2} - 2 x^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Étape 3.3.5

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + y^{2} - 2 K - 2 x - 6 y = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = - 2 x^{2} - 2 K - 2 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 2 x^{2} - 2 K - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K - 4 (- 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $4$ à partir de $36 + 8 x^{2} + 8 K + 8 x$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 8 x^{2} + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 8 K + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $8 K$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 8 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.4

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (9) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 + 2 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $4 (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ comme $2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)$ .

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Étape 3.6.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3^{2} + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + 2 K + 2 x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

$y = 3 - \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(0, 4)$ , ne tenez compte que de $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $4$ .

$4 = 3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$ .

$3 + \sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 4 - 3$

Étape 6.2.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0} = 1$

Étape 6.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}}^{2} = 1^{2}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0}$ comme ${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(9 + 2 \cdot 0^{2} + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(9 + 2 \cdot 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $0$ .

${(9 + 0 + K + 2 \cdot 0)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

${(9 + 0 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.2.1.3.1

Associez les termes opposés dans $9 + 0 + K + 0$ .

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Étape 6.4.2.1.3.1.1

Additionnez $9$ et $0$ .

${(9 + K + 0)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.3.1.2

Additionnez $9 + K$ et $0$ .

${(9 + K)}^{1} = 1^{2}$

Étape 6.4.2.1.3.2

Simplifiez

$9 + K = 1^{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 + K = 1$

Étape 6.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.5.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$K = 1 - 9$

Étape 6.5.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$K = - 8$

Étape 7

Remplacez $K$ par $- 8$ dans $y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} + K + 2 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $- 8$ .

$y = 3 + \sqrt{9 + 2 x^{2} - 8 + 2 x}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $8$ de $9$ .

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 1 + 2 x}$

Étape 7.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = 3 + \sqrt{2 x^{2} + 2 x + 1}$