Calcul infinitésimal Exemples

$y - x \frac{d y}{d x} = 6 x^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{3}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $- x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{3}$ par $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Étape 1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Étape 1.4.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{6 x^{3}}{- x}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = \frac{x (6 x^{2})}{- x}$

Étape 1.5.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 1 \cdot (6 x^{2})$

Étape 1.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{- x} = - 6 \cdot x^{2}$

Étape 1.7

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{- x} = - 6 \cdot x^{2}$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{- x} y = - 6 \cdot x^{2}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{- x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{- x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{1}{- x}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$e^{\int \frac{- 1 (- 1)}{- x} d x}$

Étape 2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{1}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1 (- 1)}{- x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (- 6 \cdot x^{2})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 6 \frac{1}{x} x^{2}$

Étape 3.4

Associez $- 6$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} x^{2}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} (x \cdot x)$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{- 6}{x} (x \cdot x)$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = - 6 x$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = - 6 x$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int - 6 x d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int - 6 x d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = - 6 \int x d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x} y = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{- 6}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} y = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x} y = \frac{- 3}{1} x^{2} + C$

Étape 7.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1}{x} y = - 3 x^{2} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = - 3 x^{2} + C$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- 3 x^{2} + C) x$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (- 3 x^{2} + C) x$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- 3 x^{2} + C) x$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $(- 3 x^{2} + C) x$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 3 x^{2} x + C x$

Étape 8.3.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = - 3 (x \cdot x^{2}) + C x$

Étape 8.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 8.3.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - 3 (x^{1} x^{2}) + C x$

Étape 8.3.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - 3 x^{1 + 2} + C x$

Étape 8.3.2.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - 3 x^{3} + C x$