Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + 2 y) d x + (x - 4) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + 2 y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x - 4) d y = - (1 + 2 y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 4$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $1 + 2 y$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $1 + 2 y$ à partir de $(x - 4) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{x - 4} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = 1 + 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 + 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Étape 4.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2$

Étape 4.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 4} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = x - 4$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = x - 4$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 4.3.2.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| x - 4 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \ln (| x - 4 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |)) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = - 2 \ln (| x - 4 |) + 2 C$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |) = 2 C$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |)$ .

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x - 4 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({| x - 4 |}^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x - 4 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({(x - 4)}^{2}) = 2 C$

Étape 5.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$

Étape 5.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2})} = e^{2 C}$

Étape 5.6

Réécrivez $\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}$

Étape 5.7

Résolvez $y$ .

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Étape 5.7.1

Réécrivez l’équation comme $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ .

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$

Étape 5.7.2

Divisez chaque terme dans $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ par ${(x - 4)}^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.7.2.1

Divisez chaque terme dans $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ par ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Étape 5.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.7.2.2.1.2

Divisez $| 1 + 2 y |$ par $1$ .

$| 1 + 2 y | = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Étape 5.7.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$

Étape 5.7.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.7.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.7.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.7.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 5.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.7.5.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$