Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Étape 4.2.2

Pour écrire $\frac{1}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Étape 4.2.3

Pour écrire $\frac{1}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Étape 4.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $42$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Étape 4.2.4.2

Multipliez $6$ par $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Étape 4.2.4.3

Multipliez $\frac{1}{7}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Étape 4.2.4.4

Multipliez $7$ par $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Étape 4.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Étape 4.2.6

Additionnez $7$ et $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{13}{42}$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Étape 4.3.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Étape 4.3.3

Associez $2$ et $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $2$ par $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Étape 4.3.5.2

Soustrayez $13$ de $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $\frac{71}{42}$ dans $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $\frac{71}{42}$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Étape 5.2.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$