Calcul infinitésimal Exemples

$d x + (1 - x) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$(1 - x) d y = - d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{1 - x} (1 - x) d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - x} (1 - x) d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{1 - x} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{1 - x}$ et $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 1 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - x$ .

$y + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \ln (| 1 - x |) + C$