Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 8 x^{7} e^{- x^{8}}$ , $y (0) = 8$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 8 \int x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ comme ${u_{1}}^{3}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.1.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ comme ${u_{1}}^{4}$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.2.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{3}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.3.4

Associez $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ et $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Étape 2.3.6

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Alors $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.6.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Étape 2.3.6.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ comme ${u_{2}}^{2}$ .

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Étape 2.3.7.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{2}}$ comme ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7.3

Associez $\frac{u_{2}}{2}$ et $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.8

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.9.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.9.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.9.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.10

Laissez $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Alors $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 2.3.10.1

Laissez $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 2.3.10.1.1

Différenciez $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Étape 2.3.10.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $- {u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Étape 2.3.10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Étape 2.3.10.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Étape 2.3.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Étape 2.3.11

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Étape 2.3.11.2

Associez $e^{u_{3}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Étape 2.3.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Étape 2.3.13

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Étape 2.3.14

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Étape 2.3.15

Simplifiez

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Étape 2.3.15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 2.3.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.15.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 2.3.15.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 2.3.15.3

Multipliez $\int e^{u_{3}} d u_{3}$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Étape 2.3.16

L’intégrale de $e^{u_{3}}$ par rapport à $u_{3}$ est $e^{u_{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{3}} + C_{2}$

Étape 2.3.17

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.17.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $- {u_{2}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{2}}^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.17.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.17.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $8$ dans $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ .

$8 = e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$ .

$e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(0^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- {(0^{2})}^{2 \cdot 2}} + K = 8$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{- {(0^{2})}^{4}} + K = 8$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(0^{2})}^{4}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 0^{2 \cdot 4}} + K = 8$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$e^{- 0^{8}} + K = 8$

Étape 4.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- 0} + K = 8$

Étape 4.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0} + K = 8$

Étape 4.2.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + K = 8$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$K = 8 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$K = 7$

Étape 5

Remplacez $K$ par $7$ dans $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $7$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + 7$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2 \cdot 2}} + 7$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{4}} + 7$

Étape 5.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{4}$ .

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Étape 5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- x^{2 \cdot 4}} + 7$

Étape 5.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = e^{- x^{8}} + 7$