Calcul infinitésimal Exemples

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Ajoutez $\ln (x^{2})$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ par $2 x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ par $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Développez $\ln (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Étape 1.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Étape 1.1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$