Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = y^{4}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} y^{4}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{4}} d y = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int d t$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 4}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 y^{3}, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 y^{3}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ par $3 y^{3}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{3 y^{3}} = t + K$ par $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{3}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3 y^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = t (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 3 t y^{3} + K (3 y^{3})$

Étape 3.2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 3 t y^{3} + 3 K y^{3}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$3 t y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $3 y^{3}$ à partir de $3 t y^{3} + 3 K y^{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $3 y^{3}$ à partir de $3 t y^{3}$ .

$3 y^{3} (t) + 3 K y^{3} = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $3 y^{3}$ à partir de $3 K y^{3}$ .

$3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $3 y^{3}$ à partir de $3 y^{3} (t) + 3 y^{3} K$ .

$3 y^{3} (t + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $3 y^{3} (t + K) = - 1$ par $3 (t + K)$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{3} (t + K) = - 1$ par $3 (t + K)$ .

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{3} (t + K)}{3 (t + K)} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $t + K$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (t + K)}{t + K} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{1}{3 (t + K)}}$ .

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Étape 3.3.5.1

Réécrivez $- \frac{1}{3 (t + K)}$ comme ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}$ .

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Étape 3.3.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5.1.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5.4

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (t + K)}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$

Étape 3.3.5.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}})$

Étape 3.3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.5.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (t + K)}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (t + K)} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

Étape 3.3.5.7.2

Élevez $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}$

Étape 3.3.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{1 + 2}}$

Étape 3.3.5.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}}$

Étape 3.3.5.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{3}$ comme $3 (t + K)$ .

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Étape 3.3.5.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{3 (t + K)}$ comme ${(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{({(3 (t + K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.3.5.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.3.5.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.3.5.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.5.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.3.5.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{{(3 (t + K))}^{1}}$

Étape 3.3.5.7.5.5

Simplifiez

$y = - \frac{{\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.5.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{3 (t + K)}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(3 (t + K))}^{2}}}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.5.8.2

Appliquez la règle de produit à $3 (t + K)$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$

Étape 3.3.5.8.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{9 {(t + K)}^{2}}}{3 (t + K)}$