Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; , $x (\frac{π}{4}) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (4 t + K)$

Étape 4

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $\frac{π}{4}$ et $x$ par $1$ dans $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Étape 5.2

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $K$ de l’intérieur de la tangente.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$π + K = \arctan (1)$

Étape 5.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Étape 5.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.5.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$K = \frac{π}{4} - π$

Étape 5.5.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.5.3

Associez $- π$ et $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Étape 5.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Étape 5.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Étape 5.5.5.2

Soustrayez $4 π$ de $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Étape 5.5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.6

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Étape 5.7

Résolvez $K$ .

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Étape 5.7.1

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 5.7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.7.1.2

Associez les fractions.

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Étape 5.7.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 5.7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 5.7.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 5.7.1.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Étape 5.7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.7.2.1

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Étape 5.7.2.2

Pour écrire $- π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Étape 5.7.2.3

Associez $- π$ et $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Étape 5.7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Étape 5.7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Étape 5.7.2.5.2

Soustrayez $4 π$ de $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Étape 5.8

Déterminez la période de $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

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Étape 5.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 5.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 5.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 5.8.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 5.9

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 5.9.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{3 π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Étape 5.9.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.9.3

Associez les fractions.

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Étape 5.9.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 5.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 5.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.9.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Étape 5.9.4.2

Soustrayez $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 5.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$K = \frac{π}{4}$

Étape 5.10

La période de la fonction $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.11

Consolidez les réponses.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Étape 6

Remplacez $K$ par $\frac{π}{4} + π n$ dans $x = \tan (4 t + K)$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$