Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12})$ , $s (0) = 7$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t + \frac{π}{12}) d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Puis $d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{1} = t + \frac{π}{12}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $t + \frac{π}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [t + \frac{π}{12}]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t + \frac{π}{12}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{12}]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $\frac{π}{12}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{π}{12}$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.3

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 2.3.7

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 2.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Étape 2.3.9

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.9.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.9.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 2.3.9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.10

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 2.3.12

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Étape 2.3.13

Simplifiez

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Étape 2.3.14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Étape 2.3.14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Étape 2.3.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $t + \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t + \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Étape 2.3.15

Simplifiez

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Étape 2.3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{12})) + C_{4}$

Étape 2.3.15.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 (6)})) + C_{4}$

Étape 2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Étape 2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Étape 2.3.15.3

Associez $\sin (2 t + \frac{π}{6})$ et $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t + \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.15.4

Appliquez la propriété distributive.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.15.5

Simplifiez

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Étape 2.3.15.5.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.15.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.15.5.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sin (2 t + \frac{π}{6})}{2}$ dans le numérateur.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.2.3

Annulez le facteur commun.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t + \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.2.4

Réécrivez l’expression.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} + 2 (- \sin (2 t + \frac{π}{6})) + C_{4}$

Étape 2.3.15.5.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $s$ par $7$ dans $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ .

$7 = 4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$ .

$4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $4 \cdot 0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 \cdot 0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (0 + \frac{π}{6}) + K = 7$

Étape 4.2.1.1.3

Additionnez $0$ et $\frac{π}{6}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 \sin (\frac{π}{6}) + K = 7$

Étape 4.2.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{π}{3} - 2 (\frac{1}{2}) + K = 7$

Étape 4.2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$0 + \frac{π}{3} + 2 (- 1) \frac{1}{2} + K = 7$

Étape 4.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{π}{3} + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} + K = 7$

Étape 4.2.1.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{π}{3} - 1 + K = 7$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $0$ et $\frac{π}{3}$ .

$\frac{π}{3} - 1 + K = 7$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $\frac{π}{3}$ des deux côtés de l’équation.

$- 1 + K = 7 - \frac{π}{3}$

Étape 4.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 7 - \frac{π}{3} + 1$

Étape 4.3.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$K = 8 - \frac{π}{3}$

Étape 5

Remplacez $K$ par $8 - \frac{π}{3}$ dans $s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $8 - \frac{π}{3}$ .

$s = 4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans $4 t + \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8 - \frac{π}{3}$ .

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Étape 5.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$s = 4 t + \frac{π - π}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Étape 5.2.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$s = 4 t + \frac{0}{3} - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Étape 5.3

Divisez $0$ par $3$ .

$s = 4 t + 0 - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$

Étape 5.4

Additionnez $4 t$ et $0$ .

$s = 4 t - 2 \sin (2 t + \frac{π}{6}) + 8$