Calcul infinitésimal Exemples

$x^{8} + 10 y \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $x^{8}$ des deux côtés de l’équation.

$10 y \frac{d y}{d x} = - x^{8}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $10 y \frac{d y}{d x} = - x^{8}$ par $10 y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $10 y \frac{d y}{d x} = - x^{8}$ par $10 y$ .

$\frac{10 y \frac{d y}{d x}}{10 y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y \frac{d y}{d x}}{10 y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Étape 1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Étape 1.1.2.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{8}}{10 y}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{8}}{10 y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{8}}{10 y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{8}}{10 y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{8}}{10 y}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $10 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{8}}{y \cdot 10}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{8}}{y \cdot 10}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{8}}{10}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \frac{x^{8}}{10} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{x^{8}}{10} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{8}}{10} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{8}}{10} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{10} \int x^{8} d x)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{10} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{10} (\frac{1}{9} x^{9} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{9} x^{9} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{9 \cdot 10} x^{9} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $9$ par $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{90} x^{9} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{90} x^{9} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{90} x^{9} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{9}$ et $\frac{1}{90}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{9}}{90} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{9}}{90}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{9}}{90}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{9}}{90} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $90$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{9}}{2 (45)} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{9}}{2 \cdot 45} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{- x^{9}}{45} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x^{9}}{45} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $2 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{45}{45}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + 2 K \cdot \frac{45}{45}}$

Étape 3.4.2

Associez $2 K$ et $\frac{45}{45}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{9}}{45} + \frac{2 K \cdot 45}{45}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{9} + 2 K \cdot 45}{45}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $45$ par $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{9} + 90 K}{45}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $\frac{- x^{9} + 90 K}{45}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{- x^{9} + 90 K}{5}$ .

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Étape 3.4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $- x^{9} + 90 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{9} + 90 K)}{45}}$

Étape 3.4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $45$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{9} + 90 K)}{3^{2} \cdot 5}}$

Étape 3.4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (- x^{9} + 90 K)}{3^{2} \cdot 5}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{- x^{9} + 90 K}{5}}$

Étape 3.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{- x^{9} + 90 K}{5}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{- x^{9} + 90 K}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.4.8

Associez.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$

Étape 3.4.9

Multipliez $\sqrt{- x^{9} + 90 K}$ par $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$

Étape 3.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 3.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K}}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 3.4.11.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 3.4.11.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}$

Étape 3.4.11.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}$

Étape 3.4.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 3.4.11.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 3.4.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{1}}$

Étape 3.4.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{9} + 90 K} \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 3.4.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{9} + 90 K) \cdot 5}}{3 \cdot 5}$

Étape 3.4.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.13.1

Multipliez $3$ par $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x^{9} + 90 K) \cdot 5}}{15}$

Étape 3.4.13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- x^{9} + 90 K) \cdot 5}}{15}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + 90 K)}}{15}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x^{9} + K)}}{15}$