Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Étape 1

Laissez $v = e^{x - y}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x - y}$ par $v$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $e^{x - y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 3

Remplacez $e^{x - y}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Étape 5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ par $- v$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ par $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2.1.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $- v$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Étape 5.3.2

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.1

Déplacez $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Étape 6

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Étape 7

Résolvez l’équation pour $v$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 8

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 9

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 9.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 9.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 9.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 10

Remplacez $\frac{d v}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $v$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 11

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 11.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 11.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 11.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.5

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.2.1.5.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.5.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.6

Simplifiez $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.2.1.8

Multipliez $v$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 11.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.1.3.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 11.1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Étape 11.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Étape 11.1.3.2

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1.3.2.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Étape 11.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Étape 11.1.3.2.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Étape 11.1.3.3

Simplifiez $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Étape 11.1.3.4

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 11.1.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Étape 11.1.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Étape 11.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 11.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 11.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 11.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 11.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 11.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Étape 11.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Étape 11.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Étape 11.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Étape 11.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Étape 11.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 11.7.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Étape 11.7.2

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Étape 11.7.3

Simplifiez

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Étape 11.8

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 11.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 11.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 11.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 11.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 11.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 11.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 11.8.3.1.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 11.8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 11.8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 11.8.3.1.2.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 12

Remplacez $v$ par $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 14

Résolvez $y$ .

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Étape 14.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Étape 14.2

Développez le côté gauche.

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Étape 14.2.1

Développez $\ln (e^{- x + y})$ en déplaçant $- x + y$ hors du logarithme.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Étape 14.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Étape 14.2.3

Multipliez $- x + y$ par $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Étape 14.3

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$