Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d f}{d x} = \frac{4 x + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x + x f^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (f^{2})}{f - x^{2} f}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 + x (f^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x$ par $4 + f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Factorisez $f$ à partir de $f - x^{2} f$ .

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Étape 1.2.1.1

Élevez $f$ à la puissance $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f^{1} - x^{2} f}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $f$ à partir de $f^{1}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 - x^{2} f}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $f$ à partir de $- x^{2} f$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 + f (- x^{2})}$

Étape 1.2.1.4

Factorisez $f$ à partir de $f \cdot 1 + f (- x^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot (1 - x^{2})}$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $f$ par $1 - x^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 - x^{2})}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1^{2} - x^{2})}$

Étape 1.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Étape 1.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{f}{4 + f^{2}}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ par $\frac{4 + f^{2}}{f}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x) f}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $f$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $f$ à partir de $(1 + x) (1 - x) f$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $4 + f^{2}$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $4 + f^{2}$ à partir de $x (4 + f^{2})$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{f}{4 + f^{2}} d f = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{f}{4 + f^{2}} d f = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 f d f$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = f d f$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d f}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $4 + f^{2}$ .

$\frac{d}{d f} [4 + f^{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + f^{2}$ par rapport à $f$ est $\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$ .

$\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $4$ est constant par rapport à $f$ , la dérivée de $4$ par rapport à $f$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d f} [f^{n}]$ est $n f^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 f$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 f$ .

$2 f$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 + f^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Alors $d u_{2} = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 1 + x$ et $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (1 + x)$ comme $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.1.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.1.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.1.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.1.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.3.11

Multipliez $1 - x$ par $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Étape 2.3.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Étape 2.3.1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.1.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Étape 2.3.1.1.4.2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$- x + 0 - x$

Étape 2.3.1.1.4.2.3

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- x - x$

Étape 2.3.1.1.4.2.4

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $f$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 4 + f^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $\ln (| 1 - x^{2} |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 4 + f^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Étape 3.4

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + f^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Étape 3.5

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (4 + f^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.6

Développez $(4 + f^{2}) (1 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.7.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.7.3

Multipliez $f^{2}$ par $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Étape 3.7.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$

Étape 3.8

Pour résoudre $f$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Étape 3.9

Réécrivez $\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |$

Étape 3.10

Résolvez $f$ .

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Étape 3.10.1

Réécrivez l’équation comme $| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Étape 3.10.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Étape 3.10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $f$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.10.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Étape 3.10.3.2

Ajoutez $4 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.4

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{2} - f^{2} x^{2}$ .

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Étape 3.10.4.1

Multipliez par $1$ .

$f^{2} \cdot 1 - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.4.2

Factorisez $f^{2}$ à partir de $- f^{2} x^{2}$ .

$f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.4.3

Factorisez $f^{2}$ à partir de $f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2})$ .

$f^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.6

Factorisez.

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Étape 3.10.6.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Étape 3.10.7

Divisez chaque terme dans $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ par $(1 + x) (1 - x)$ et simplifiez.

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Étape 3.10.7.1

Divisez chaque terme dans $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ par $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.10.7.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 3.10.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.7.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 3.10.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.7.2.2.2

Divisez $f^{2}$ par $1$ .

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.10.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

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Étape 3.10.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ comme $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9.4

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.10.9.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9.5.2

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Étape 3.10.9.5.3

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Étape 3.10.9.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Étape 3.10.9.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Étape 3.10.9.5.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 3.10.9.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.10.9.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.10.9.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.10.9.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.10.9.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.10.9.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Étape 3.10.9.5.6.5

Simplifiez

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 3.10.9.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$f = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$