Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $t$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Étape 1.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Étape 1.3

Laissez $u_{1} = 3 t$ . Alors $d u_{1} = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.3.1

Laissez $u_{1} = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Étape 1.3.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 1.3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Étape 1.4

Associez $\sin (u_{1})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Étape 1.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Étape 1.6

L’intégrale de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Étape 1.7

Laissez $u_{2} = 3 t$ . Alors $d u_{2} = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 1.7.1

Laissez $u_{2} = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Étape 1.7.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 1.7.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 1.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 1.8

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Étape 1.9

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 1.10

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Étape 1.11

Simplifiez

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Étape 1.12

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 1.12.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Étape 1.12.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Étape 1.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.2

Comme $- \frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $- \frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.3

Laissez $u_{3} = 3 t$ . Alors $d u_{3} = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 3.3.3.1

Laissez $u_{3} = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 3.3.3.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.3.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.4

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.6

Simplifiez

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Étape 3.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.7

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.8

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.9

Laissez $u_{4} = 3 t$ . Alors $d u_{4} = 3 d t$ , donc $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Réécrivez avec $u_{4}$ et $d$ $u_{4}$ .

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Étape 3.3.9.1

Laissez $u_{4} = 3 t$ . Déterminez $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

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Étape 3.3.9.1.1

Différenciez $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Étape 3.3.9.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $3 t$ par rapport à $t$ est $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 3.3.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 3.3.9.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 3.3.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{4}$ et $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.10

Associez $\sin (u_{4})$ et $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.11

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{4}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.12

Simplifiez

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Étape 3.3.12.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.12.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.13

L’intégrale de $\sin (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Étape 3.3.14

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Étape 3.3.15

Simplifiez

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Étape 3.3.16

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 3.3.16.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Étape 3.3.16.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Étape 3.3.17

Remettez les termes dans l’ordre.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$