Calcul infinitésimal Exemples

$(x + y) d y - y d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$- y d x + (x + y) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x + y$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$- 1 = 1$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 1 = 1$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $1$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{M}$

Étape 5.3

Remplacez $M$ par $- y$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez $M$ par $- y$ .

$\frac{1 + 1}{- y}$

Étape 5.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{- y}$

Étape 5.3.3

Remplacez $M$ par $- y$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 6.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $- y d x + (x + y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 7.1

Multipliez $- y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- y \frac{1}{y^{2}} d x + (x + y) d y = 0$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \cdot - 1 \frac{1}{y^{2}} d x + (x + y) d y = 0$

Étape 7.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + y) d y = 0$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun.

$y \cdot - 1 \frac{1}{y \cdot y} d x + (x + y) d y = 0$

Étape 7.2.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} d x + (x + y) d y = 0$

Étape 7.3

Multipliez $x + y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + (x + y) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x + y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{1}{y} d x + \frac{x + y}{y^{2}} d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y} d x$

Étape 9

Intégrez $M (x, y) = - \frac{1}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1}{y} x + C$

Étape 9.2

Associez $x$ et $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y} + g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{x}{y} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y}]$ .

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Étape 12.3.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- \frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$- x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.3.5

Multipliez $x$ par $1$ .

$x y^{- 2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x y^{- 2} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.5.2

Associez $x$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 12.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} = \frac{x + y}{y^{2}}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 13.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 13.1.1.1

Soustrayez $\frac{x + y}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y^{2}} - \frac{x + y}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - (x + y)}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x - x - y}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.4

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 - y}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.5

Soustrayez $y$ de $0$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{- y}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1.6.1

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 13.1.1.6.1.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Étape 13.1.1.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.1.6.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Étape 13.1.1.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y \cdot - 1}{y \cdot y} = 0$

Étape 13.1.1.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 1}{y} = 0$

Étape 13.1.1.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d y} - \frac{1}{y} = 0$

Étape 13.1.2

Ajoutez $\frac{1}{y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $\frac{1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 14.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Étape 15

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = - \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y} + \ln (| y |) + C$