Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 x y + 8 x = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + 8 x = 2 x y$

Étape 1.1.2

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y - 8 x$

Étape 1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x y - 8 x$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) - 8 x$

Étape 1.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 8 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 2 x (- 4)$

Étape 1.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (y) + 2 x (- 4)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y - 4)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 4} (2 x (y - 4))$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y - 4} (x (y - 4))$

Étape 1.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y - 4}$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} (x (y - 4))$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y - 4$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $y - 4$ à partir de $x (y - 4)$ .

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) x)$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 4} ((y - 4) x)$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y - 4} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y - 4} d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y - 4} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y - 4$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y - 4$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y - 4$ .

$\frac{d}{d y} [y - 4]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 4]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y - 4$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\ln (| y - 4 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y - 4 |) = x^{2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y - 4 |)} = e^{x^{2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y - 4 |) = x^{2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y - 4 |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y - 4 | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y - 4 | = e^{x^{2} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y - 4 = \pm e^{x^{2} + C}$

Étape 3.3.3

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{x^{2} + C} + 4$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C} + 4$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}} + 4$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{x^{2}} + 4$