Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $\sin (x) y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Étape 1.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

Étape 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ est un entier spécial. L’intégrale est la fonction intégrale de Fresnel.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

Étape 5.3

Simplifiez

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = 5 S x + C$ par $\sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = 5 S x + C$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Séparez les fractions.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 6.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Étape 6.3.1.3

Divisez $C$ par $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$