Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $4$ dans $y = x + \ln (| x |) + C$ .

$4 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $1 + \ln (| 1 |) + C = 4$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = 4$

Étape 4.2

Simplifiez $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 4$

Étape 4.2.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$1 + 0 + C = 4$

Étape 4.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 + C = 4$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$C = 4 - 1$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$C = 3$

Étape 5

Remplacez $C$ par $3$ dans $y = x + \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $3$ .

$y = x + \ln (| x |) + 3$