Calcul infinitésimal Exemples

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x + 6 y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 6 y^{2})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x + 6 y^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Étape 2.5

Comme $6 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$1 = - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{- 1 - 1}{y}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $y$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y \frac{1}{y^{2}} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- (x + 6 y^{2})$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} d x + (- x - (6 y^{2})) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{1}{y} d x + (- x - 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- x - 6 y^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- x - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - (6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - (6 y^{2})$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.10

Réécrivez $- (x + 6 y^{2})$ comme $- 1 (x + 6 y^{2})$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- 1 (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y} d x - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{1}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{y}$ et $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x}{y} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez $x$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.1

Ajoutez $\frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} + \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Additionnez $0$ et $6 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Divisez $6$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 6 = 0$

Étape 12.1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - 6$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 6$ afin de déterminer $g (y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 6 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 6 d y$

Étape 13.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - 6 y + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} - 6 y + C$