Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $\frac{1}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$