Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = a x + b$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int a x + b d x}$

Étape 1.2

Intégrez $a x + b$ .

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Étape 1.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Étape 1.2.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , placez $a$ en dehors de l’intégrale.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Étape 1.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Étape 1.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Étape 1.2.5.2

Simplifiez

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Étape 1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{a}{2}$ et $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ par $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

L’intégrale de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ par $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ par $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1.1

Pour écrire $b x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $b x$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Étape 7.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Étape 7.3.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

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Étape 7.3.1.4.1.1

Factorisez $x$ à partir de $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Étape 7.3.1.4.1.2

Factorisez $x$ à partir de $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Étape 7.3.1.4.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Étape 7.3.1.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$