Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $6$ dans $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Étape 4

Résolvez $C$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Étape 4.2

Simplifiez $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Étape 4.2.1.2

Divisez $7$ par $1$ .

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Étape 4.2.1.4

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

Étape 4.2.1.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

Étape 4.2.1.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

Étape 4.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $- 3 - 7$ et $0$ .

$- 3 - 7 + C = 6$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $7$ de $- 3$ .

$- 10 + C = 6$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$C = 6 + 10$

Étape 4.3.2

Additionnez $6$ et $10$ .

$C = 16$

Étape 5

Remplacez $C$ par $16$ dans $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $C$ par $16$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

Étape 5.2.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$