Calcul infinitésimal Exemples

$4 x + \frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12 - 4 x$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (36 x^{5} + 12 - 4 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , placez $36$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 36 \int x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{6}$ et $x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 \int x d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4})$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 4 \frac{x^{2}}{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3

Simplifiez

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Étape 2.3.8.3.1

Associez $- 4$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C_{5}$

Étape 2.3.8.3.2.2.4

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 2 x^{2} + C_{5}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + K$