Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$x d x = 9 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int x d x = \int 9 d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (9 t + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $9$ par $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $18 t + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Étape 4

Comme $x$ est positif dans la condition initiale $(0, 9)$ , ne tenez compte que de $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $t$ par $0$ et $x$ par $9$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Étape 5

Résolvez $K$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Étape 5.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 5.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ comme ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Étape 5.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $9$ par $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Additionnez $0$ et $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Étape 5.3.2.1.4

Simplifiez

$2 K = 9^{2}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$2 K = 81$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $2 K = 81$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 K = 81$ par $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Étape 6

Remplacez $K$ par $\frac{81}{2}$ dans $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Remplacez $K$ par $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Étape 6.2

Factorisez $9$ à partir de $9 t + \frac{81}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $9$ à partir de $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Étape 6.2.2

Factorisez $9$ à partir de $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Étape 6.2.3

Factorisez $9$ à partir de $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Étape 6.3

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Étape 6.4

Pour écrire $t$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Étape 6.5

Associez $t$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Étape 6.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Étape 6.7

Déplacez $2$ à gauche de $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Étape 6.8

Associez $18$ et $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Étape 6.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.9.1

Réduisez l’expression $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Étape 6.9.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Étape 6.9.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Étape 6.9.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Étape 6.9.2

Divisez $9 (2 t + 9)$ par $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Étape 6.10

Réécrivez $9 (2 t + 9)$ comme $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

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Étape 6.10.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Étape 6.10.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Étape 6.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Étape 6.12

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$