Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.5

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{y \frac{1}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.8

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.9

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.9.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - 1}$

Étape 1.10

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{\frac{y}{x} - 1}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Divisez la fraction $\frac{1 + V^{2}}{V - 1}$ en deux fractions.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} - V$

Étape 6.1.1.1.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.1.1.1.3.1

Écrivez $- V$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1}$

Étape 6.1.1.1.3.2

Multipliez $\frac{- V}{1}$ par $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.3.3

Multipliez $\frac{- V}{1}$ par $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V (V - 1)}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V (V - 1)}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot V - V \cdot - 1}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.5.2

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.5.2.1

Déplacez $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - (V \cdot V) - V \cdot - 1}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.5.2.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} - V \cdot - 1}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.5.3

Multipliez $- V \cdot - 1$ .

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Étape 6.1.1.1.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + 1 V}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.5.3.2

Multipliez $V$ par $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + V}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.6

Associez les termes opposés dans $1 + V^{2} - V^{2} + V$ .

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Étape 6.1.1.1.6.1

Soustrayez $V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 0 + V}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.6.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1}$

Étape 6.1.1.1.7

Divisez la fraction $\frac{1 + V}{V - 1}$ en deux fractions.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V}{V - 1}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4

Multipliez $\frac{1 + V}{V - 1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Étape 6.1.1.2.3.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1 + V}{(V - 1) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{x (V - 1)}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{V - 1}{1 + V}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} (\frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{1 + V}{V - 1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Étape 6.1.4.2

Annulez le facteur commun de $V - 1$ .

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Étape 6.1.4.2.1

Factorisez $V - 1$ à partir de $(V - 1) x$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) (x)}$

Étape 6.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Étape 6.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 + V$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Étape 6.1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{V - 1}{1 + V} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{V - 1}{1 + V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $V$ .

$\int \frac{V - 1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Divisez $V - 1$ par $V + 1$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$V$

$1$

$V$

$1$

Étape 6.2.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $V$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $V$ .

					$1$
	$V$	+	$1$		$V$	-	$1$

Étape 6.2.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$1$

Étape 6.2.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $V + 1$

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$

Étape 6.2.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$
					-	$2$

Étape 6.2.2.2.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int 1 - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d V + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$V + C_{1} + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $V$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$V + C_{1} - \int \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $V$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$V + C_{1} - (2 \int \frac{1}{V + 1} d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

Laissez $u = V + 1$ . Puis $d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.8.1

Laissez $u = V + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.8.1.1

Différenciez $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Étape 6.2.2.8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V + 1$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Étape 6.2.2.8.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 6.2.2.8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 6.2.2.8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$V + C_{1} - 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.10

Simplifiez

$V - 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V + 1$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \ln ({| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Étape 8.2.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Étape 8.3

Remettez dans l’ordre $- \frac{y}{x}$ et $C$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = C - \frac{y}{x}$

Étape 8.4

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.4.1

Ajoutez $\frac{y}{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) + \frac{y}{x} = C$

Étape 8.4.2

Pour écrire $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Étape 8.4.3

Associez $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Étape 8.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Étape 8.4.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.4.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Étape 8.4.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln ({(\frac{y + x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Étape 8.4.5.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{y + x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Étape 8.4.6

Pour écrire $- \ln (| x |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) \cdot \frac{x}{x} = C$

Étape 8.4.7

Associez $- \ln (| x |)$ et $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} + \frac{- \ln (| x |) x}{x} = C$

Étape 8.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Étape 8.4.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Étape 8.4.10

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Étape 8.4.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Étape 8.4.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln (| x |) x$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)}{x} = C$

Étape 8.4.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Étape 8.4.14

Réécrivez $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ comme $- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ .

$\frac{- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Étape 8.4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x} = C$

Étape 8.4.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x}$ .

$- \frac{x \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) - y + x \ln (| x |)}{x} = C$