Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Étape 2.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ par rapport à $t$ est $arcsec (| t |)$

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $2$ et $v$ par $0$ dans $v = 3 arcsec (| t |) + K$ .

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ .

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

Étape 4.2.1.2

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Étape 4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$π + K = 0$

Étape 4.3

Soustrayez $π$ des deux côtés de l’équation.

$K = - π$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- π$ dans $v = 3 arcsec (| t |) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- π$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$