Calcul infinitésimal Exemples

$3 x d y - 4 y d x = 0$

Étape 1

Ajoutez $4 y d x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x d y = 4 y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Étape 3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

Étape 3.5

Associez $4$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (| y |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez $- 4 \ln (| x |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Étape 5.2.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Multipliez les deux côtés par $x^{4}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Étape 5.5.3

Simplifiez

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 5.5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Étape 5.5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} x^{4}$ .

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

Étape 5.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ .

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Étape 5.5.4.2.1

Réécrivez $x^{4} e^{C}$ comme $x^{3} (x e^{C})$ .

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Étape 5.5.4.2.1.1

Factorisez $x^{3}$ .

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Ajoutez des parenthèses.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

Étape 5.5.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Étape 5.5.4.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$