Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 7 \int t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 4 t^{2} - 7$ . Alors $d u = 8 t d t$ , donc $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 4 t^{2} - 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $4 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} - 7]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t^{2} - 7$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t^{2}$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$8 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $8 t$ et $0$ .

$8 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 7 \int u^{3} \frac{1}{8} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{8}$ .

$s + C_{1} = 7 \int \frac{u^{3}}{8} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 7 (\frac{1}{8} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{8}$ et $7$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{7}{8} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $\frac{7}{8}$ par $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{32} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{32} {(4 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{7}{32} {(4 t^{2} - 7)}^{4} + K$