Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{4}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3} y^{3}$ par rapport à $x$ est $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ .

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $12 y^{3} x^{2}$ de $6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $2 x$ à partir de $- 6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.6.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.2.6.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x y$ à partir de $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x y$ à partir de $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $- 3 y^{3} x - 2$ et $3 x y^{3} + 2$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 y^{3} x$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.5.4

Réécrivez $- (3 y^{3} x + 2)$ comme $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Étape 4.3.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Étape 4.3.5.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Étape 4.3.5.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.7

Remplacez $M$ par $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $x y$ à partir de $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $x y$ à partir de $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $x y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $x y$ à partir de $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (3 x y^{3} + 2)$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

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Étape 6.7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

Étape 8.2

Développez $x (3 x y^{3} + 2)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

Étape 8.2.2

Déplacez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

Étape 8.2.3

Supprimez les parenthèses.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Étape 8.2.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $3$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Étape 8.2.5

Remettez dans l’ordre $x$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

Étape 8.2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

Étape 8.2.7

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

Étape 8.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

Étape 8.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

Étape 8.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

Étape 8.4

Comme $3 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $3 y^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

Étape 8.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

Étape 8.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

Étape 8.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Étape 8.8

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ .

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Étape 11.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = \frac{1}{y}$ et $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} x^{3} + x^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x^{3}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.5

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.6

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.8

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.9

Additionnez $3 x^{3} y^{2}$ et $0$ .

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.10

Associez $3$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.11

Associez $x^{3}$ et $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.12

Associez $\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ et $y^{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.13

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.14

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 11.3.14.1

Factorisez $y$ à partir de $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.14.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.14.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.14.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.14.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.3.14.2.5

Divisez $3 x^{3} y$ par $1$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3

Associez des termes.

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Étape 11.5.3.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.3

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 11.5.3.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x^{3} y^{3}$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.5.3.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.3.2.4

Divisez $x^{3} y$ par $1$ .

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.3.5

Soustrayez $x^{3} y$ de $3 x^{3} y$ .

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 11.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.3.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 12.1.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.3

Multipliez $- x^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 12.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.3.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.3.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.4

Associez les termes opposés dans $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ .

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Étape 12.1.4.1

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.4.2

Additionnez $- 2 x^{3} y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 12.1.5.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- 2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

Étape 12.1.5.2.4

Divisez $- 2 x^{3} y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

Étape 12.1.6

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ .

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Étape 12.1.6.1

Soustrayez $2 x^{3} y$ de $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Étape 12.1.6.2

Additionnez $\frac{d g}{d y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Étape 13

Déterminez la primitive de $0$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $0$ par rapport à $y$ est $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Étape 13.4

Additionnez $0$ et $C$ .

$g (y) = C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

Étape 15.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

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Étape 15.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y^{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

Étape 15.2.2

Multipliez par $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

Étape 15.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$