Calcul infinitésimal Exemples

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x d x$ des deux côtés de l’équation.

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sec (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x)$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

Étape 3.3

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

Étape 3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

Étape 3.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \cos (x) x$ .

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

Étape 4.2

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

Étape 4.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

Étape 4.3.4

Réécrivez $- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ comme $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ .

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (x)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Ajoutez $x \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

Étape 5.3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.2.2

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.2

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x \sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (x \sin (x))$ comme $- (x \sin (x))$ .

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Étape 5.4.3.1.5

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

Étape 5.4.3.1.6

Divisez $K$ par $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

Étape 5.5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

Étape 5.6

Réécrivez l’équation comme $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ .

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Étape 5.7

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\cos (y)$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Étape 5.8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (y)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.8.1

Ajoutez $x \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Étape 5.8.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Étape 5.9

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Étape 5.10

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Étape 5.11

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\cos (y)$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Étape 5.12

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\cos (y)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.12.1

Ajoutez $x \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Étape 5.12.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Étape 5.13

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$