Calcul infinitésimal Exemples

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $15 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $15 x^{2} y^{2}$ par rapport à $y$ est $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{4}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Étape 1.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $10 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 4 y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x y^{3}$ par rapport à $x$ est $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Étape 2.5

Comme $- 5 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y^{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Additionnez $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Étape 5.2

Comme $15 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $15 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $5 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 y^{2} x^{3}$ par rapport à $y$ est $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{4} x$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.4.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $10 x^{3} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Étape 9.1.2

Ajoutez $4 y^{3} x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

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Étape 9.1.3.1

Soustrayez $10 x^{3} y$ de $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 4 x y^{3}$ et $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 4 y^{3} x$ et $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $- 5 y^{4}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- 5 y^{4}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Étape 10.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{4}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ comme $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $- 5$ et $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 5$ et $5$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$