Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = e^{- y}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - y$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- y}$ comme $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x e^{- y}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Étape 2.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- e^{- y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x e^{- y}$ par rapport à $x$ est $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

Étape 2.4

Soustrayez $e^{- y}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- e^{- y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- e^{- y}$ .

$- e^{- y} = - e^{- y}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = e^{- y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{- y} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $e^{- y} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - y$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.3.7

Réécrivez $- 1 e^{- y}$ comme $- e^{- y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

Étape 8.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $x e^{- y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

Étape 9.1.2

Associez les termes opposés dans $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

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Étape 9.1.2.1

Additionnez $- x e^{- y}$ et $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Étape 10

Déterminez la primitive de $1$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Étape 10.3

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ .

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$